田萍 张屹山 

          吉林大学数量经济研究中心；吉林大学商学院

 

内容提要 近几十年以来，国际上在对“风险的处理和效益的优化”这两个现代金融学的中心议题的分析和处理过程中，金融时间序列的计量学模型及其相应的分析越来越起到非常重要的作用。对于线性时间序列模型如AR(p), MA(q), ARMA(p, q)等，已经为我们所熟知。具体到模型的参数估计在数据没有缺失时，也有很多经典的办法，如最小二乘法、极大似然法等。但是当数据在中间有缺失时，上述方法将无能为力。本文将详细讨论在数据有缺失时的ARMA（1，1）模型，即

的参数的估计方法。

 关键词   缺失数据 ARMA（1，1）模型 似然函数 EM算法   

我们知道在金融研究及实际的投资决策中，金融实证研究一直占据非常重要的地位，而在绝大多数实证研究中，时间序列数据等相关的数据是进行实证研究的前提条件。但是，处理数据时的一个必不可免的麻烦就是数据的缺失的问题。毫无疑问，对这类问题处理不当，就会影响研究结果的准确性。通常人们对数据缺失问题的处理主要有以下几种：

当数据量很大，并且其它的部分很完整时，在保证剩余数据仍为连续的情况下，抛开缺失的数据进行实证研究；当数据量不够大时，可以利用其它的信息把缺失的数据补上，比如利用求平均数法，线性插值法等等。

可以说上述这些方法都是比较直观易懂的，但是它们又有各自明显的缺点，如多数时候的数据受到信息完整性等的某些限制是不能够抛开的，而那两种直观的补数据的办法显然又没有充分利用到已知的一些信息，使得相应的估计结果不够准确。到目前为止，在对数据有缺失的情况下对其所属的线形时间序列模型进行参数估计的相应理论研究的结果有：Ljung,G,M,(1982); Pernzer,J. and Shea,B.(1997); Chunsheng Ma,(2002); 田萍、董险峰和王德辉等（2003）等都分别对具有缺失数据的ARMA(1,1)和AR(p)模型的估计方法进行了探讨。其中马春生（Chunsheng Ma,2002）年发表在《时间序列分析杂志》上的文章《缺失数据下ARMA(1,1)模型的极大似然估计》，处理的就是具有缺失数据时ARMA(1,1)的参数估计方法。该文应用的是极大似然的思想利用矩阵的性质和运算获得参数的估计值满足一个方程组。但该方程组的缺点是形式复杂，不能直接获得显示解，需要通过数值算法获得解的近似值。基于该缺点及我国金融市场的具体情况，本文将主要应用EM算法，对数据从中间连续缺失一个或两个（根据对中国股票市场的了解，缺失的数据多数为一个到两个）的情况给出零均值的ARMA(1，1)模型的估计方法。我们给出了参数估计值的显示解的算法，相对而言使估计结果更清晰易得。最后我们就一个数据缺失的情况进行实证研究。