Contents
Preface viii
1 Basic interest rate markets, concepts, and relations 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Markets for bonds and interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Discount factors and zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Zero-coupon rates and forward rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Annual compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Compounding over other discrete periods { LIBOR rates . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Continuous compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Di erent ways to represent the term structure of interest rates . . . . . . . 10
1.5 Determining the zero-coupon yield curve: Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Determining the zero-coupon yield curve: Parameterized forms . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 The Nelson-Siegel parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.3 Additional remarks on yield curve estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Fixed income securities 22
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Floating rate bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Forwards on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Interest rate forwards { forward rate agreements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Futures on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Interest rate futures { Eurodollar futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.1 Options on zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.2 Options on coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Caps,
oors, and collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8.1 Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8.2 Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8.3 Collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8.4 Exotic caps and
oors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Swaps and swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.1 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.2 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9.3 Exotic swap instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Stochastic processes and stochastic calculus 43
3.1 Probability spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Di erent types of stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Markov processes and martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4 Continuous or discontinuous paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Di usion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 It^o processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 De nition and properties of stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2 Leibnitz' rule for stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 It^o's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Important di usion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.1 Geometric Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.2 Ornstein-Uhlenbeck processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.3 Square root processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Multi-dimensional processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.10 Change of probability measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Asset pricing and term structures: discrete-time models 71
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 A one-period model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Assets, portfolios, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3 State-price vectors and de
ators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.4 Risk-neutral probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.5 Redundant assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.6 Complete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.7 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . 82
4.3 A multi-period, discrete-time model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Assets, trading strategies, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.3 State-price vectors and de
ators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.4 Risk-neutral probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.5 Redundant assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.6 Complete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.3.7 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . 93
4.4 Discrete-time, nite-state models of the term structure . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Asset pricing and term structures: an introduction to continuous-time models 97
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Asset pricing in continuous-time models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Assets, trading strategies, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2 Investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.3 State-price de
ators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.4 Risk-neutral probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.5 From no arbitrage to state-price de
ators and risk-neutral measures . . . . 105
5.2.6 Market prices of risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.7 Complete vs. incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.8 Extension to intermediate dividends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.9 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . 110
5.3 Other probability measures convenient for pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3.1 A zero-coupon bond as the numeraire { forward martingale measures . . . . 113
5.3.2 An annuity as the numeraire { swap martingale measures . . . . . . . . . . 114
5.3.3 A general pricing formula for European options . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Forward prices and futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.1 Forward prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.2 Futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.3 A comparison of forward prices and futures prices . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 American-style derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6 Di usion models and the fundamental partial di erential equation . . . . . . . . . 119
5.6.1 One-factor di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6.2 Multi-factor di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.7 The Black-Scholes-Merton model and Black's variant . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.7.1 The Black-Scholes-Merton model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.7.2 Black's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7.3 Problems in applying Black's model to xed income securities . . . . . . . . 133
5.8 An overview of continuous-time term structure models . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.8.1 Overall categorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.8.2 Some frequently applied models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6 The Economics of the Term Structure of Interest Rates 139
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Real interest rates and aggregate consumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3 Real interest rates and aggregate production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 Equilibrium interest rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.1 Production-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.2 Consumption-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.5 Real and nominal interest rates and term structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.5.1 Real and nominal asset pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.5.2 No real e ects of in
ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5.3 A model with real e ects of money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6 The expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.6.1 Versions of the pure expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.6.2 The pure expectation hypothesis and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.6.3 The weak expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.7 Liquidity preference, market segmentation, and preferred habitats . . . . . . . . . 160
6.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7 One-factor di usion models 163
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2 Ane models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.1 Bond prices, zero-coupon rates, and forward rates . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2.2 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2.3 European options on coupon bonds: Jamshidian's trick . . . . . . . . . . . 169
7.3 Merton's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.3.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4 Vasicek's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.4.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5 The Cox-Ingersoll-Ross model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.5.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.5.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6 Non-ane models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.7 Parameter estimation and empirical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8 Multi-factor di usion models 201
8.1 What is wrong with one-factor models? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.2 Multi-factor di usion models of the term structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.3 Multi-factor ane di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.3.1 Two-factor ane di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.3.2 n-factor ane di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.3 European options on coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.4 Multi-factor Gaussian di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.4.1 General analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.4.2 A speci c example: the two-factor Vasicek model . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.5 Multi-factor CIR models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.5.1 General analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.5.2 A speci c example: the Longsta -Schwartz model . . . . . . . . . . . . . . 214
8.6 Other multi-factor di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.6.1 Models with stochastic consumer prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
8.6.2 Models with stochastic long-term level and volatility . . . . . . . . . . . . . 220
8.6.3 A model with a short and a long rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.6.4 Key rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
8.6.5 Quadratic models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.7 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9 Calibration of di usion models 225
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.2 Time inhomogeneous ane models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.3 The Ho-Lee model (extended Merton) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.4 The Hull-White model (extended Vasicek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.5 The extended CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.6 Calibration to other market data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.7 Initial and future term structures in calibrated models . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.8 Calibrated non-ane models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.9 Is a calibrated one-factor model just as good as a multi-factor model? . . . . . . . 237
9.10 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
10 Heath-Jarrow-Morton models 240
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.2 Basic assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
10.3 Bond price dynamics and the drift restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10.4 Three well-known special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.4.1 The Ho-Lee (extended Merton) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
10.4.2 The Hull-White (extended Vasicek) model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.4.3 The extended CIR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.5 Gaussian HJM models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10.6 Di usion representations of HJM models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
10.6.1 On the use of numerical techniques for di usion and non-di usion models . 249
10.6.2 In which HJM models does the short rate follow a di usion process? . . . . 249
10.6.3 A two-factor di usion representation of a one-factor HJM model . . . . . . 252
10.7 HJM-models with forward-rate dependent volatilities . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11 Market models 256
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
11.2 General LIBOR market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.2.1 Model description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.2.2 The dynamics of all forward rates under the same probability measure . . . 258
11.2.3 Consistent pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.3 The lognormal LIBOR market model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.3.1 Model description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.3.2 The pricing of other securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.4 Alternative LIBOR market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
11.5 Swap market models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
11.6 Further remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12 The measurement and management of interest rate risk 272
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.2 Traditional measures of interest rate risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.2.1 Macaulay duration and convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.2.2 The Fisher-Weil duration and convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.2.3 The no-arbitrage principle and parallel shifts of the yield curve . . . . . . . 275
12.3 Risk measures in one-factor di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
12.3.1 De nitions and relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
12.3.2 Computation of the risk measures in ane models . . . . . . . . . . . . . . 279
12.3.3 A comparison with traditional durations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12.4 Immunization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.4.1 Construction of immunization strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.4.2 An experimental comparison of immunization strategies . . . . . . . . . . . 284
12.5 Risk measures in multi-factor di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
12.5.1 Factor durations, convexities, and time value . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
12.5.2 One-dimensional risk measures in multi-factor models . . . . . . . . . . . . 290
12.6 Duration-based pricing of options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.6.1 The general idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.6.2 A mathematical analysis of the approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 293
12.6.3 The accuracy of the approximation in the Longsta -Schwartz model . . . . 294
12.7 Alternative measures of interest rate risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13 Mortgage-backed securities 299
14 Credit risky securities 300
15 Stochastic interest rates and the pricing of stock and currency derivatives 301
15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.2 Stock options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.2.1 General analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
15.2.2 Deterministic volatilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
15.3 Options on forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
15.3.1 Forward and futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
15.3.2 Options on forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
15.3.3 Options on futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
15.4 Currency derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.4.1 Currency forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
15.4.2 A model for the exchange rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
15.4.3 Currency futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.4.4 Currency options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15.4.5 Alternative exchange rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
15.5 Final remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
16 Numerical techniques 315
A Results on the lognormal distribution 316
References 319 | 