Contents
Preface ix
1 Introduction 1
I Single Object Auctions 11
2 Private Value Auctions: A First Look 13
2.1 The SymmetricModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Second-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 First-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Revenue Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Reserve Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 The Revenue Equivalence Principle 29
3.1 Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Some Applications of the Revenue Equivalence Principle . . 31
3.2.1 Unusual Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Uncertain Number of Bidders . . . . . . . . . . . . . 34
4 Qualifications and Extensions 37
4.1 Risk-Averse Bidders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Budget Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.1 Second-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.2 First-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.3 Revenue Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Asymmetries among Bidders . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.1 Asymmetric First-Price Auctions with Two Bidders 46
4.3.2 Revenue Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.3 Efficiency Comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Resale and Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Mechanism Design 61
5.1 Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.1 The Revelation Principle . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1.2 Incentive Compatibility . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.3 Individual Rationality . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 OptimalMechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.1 Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2.2 Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.2.3 Discussion and Interpretation . . . . . . . . . . . . . 71
5.2.4 Auctions versusMechanisms . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 EfficientMechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3.1 The VCGMechanism . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.2 Budget Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3.3 An Application to Bilateral Trade . . . . . . . . . . 80
6 Auctions with Interdependent Values 83
6.1 The SymmetricModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Second-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 English Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 First-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.5 Revenue Comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.5.1 English versus Second-Price Auctions . . . . . . . . 96
6.5.2 Second-Price versus First-Price Auctions . . . . . . . 97
6.6 Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 The Revenue Ranking (“Linkage”) Principle 103
7.1 TheMain Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Public Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.3 An Alternative Linkage Principle . . . . . . . . . . . . . . . 108
8 Asymmetries and Other Complications 111
8.1 Failures of the Linkage Principle . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.2 Asymmetric Equilibria in Symmetric Second-Price Auctions 116
8.3 Asymmetrically Informed Bidders . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4 Reserve Prices and Entry Fees . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9 Efficiency and the English Auction 125
9.1 The Single Crossing Condition . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2 Two-Bidder Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3 The Average Crossing Condition . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.4 Three orMore Bidders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.5 Proof of Proposition 9.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.6 Miscellany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10 Mechanism Design with Interdependent Values 141
10.1 EfficientMechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
10.2 OptimalMechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
11 Bidding Rings 151
11.1 Collusion in Second-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . 152
11.1.1 Efficient Collusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.1.2 Reserve Prices in the Face of Collusion . . . . . . . . 158
11.2 Collusion in First-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . 160
II Multiple Object Auctions 163
12 An Introduction to Multiple Object Auctions 165
12.1 Sealed-Bid Auctions for Selling Identical Units . . . . . . . 166
12.1.1 Discriminatory Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . 168
12.1.2 Uniform-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12.1.3 Vickrey Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
12.2 Some Open Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.2.1 Dutch Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.2.2 English Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.2.3 Ausubel Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
13 Equilibrium and Efficiency with Private Values 179
13.1 The BasicModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
13.2 Vickrey Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13.3 Efficiency inMultiunit Auctions . . . . . . . . . . . . . . . 183
13.4 Uniform-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
13.4.1 Demand Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
13.4.2 Single-Unit Demand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
13.5 Discriminatory Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.5.1 Structure of Equilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.5.2 Single-Unit Demand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
14 Some Revenue Considerations 199
14.1 Revenue Equivalence in Multiunit Auctions . . . . . . . . . 200
14.2 Revenue Equivalence with Multiunit Demand: An Example 202
15 Sequential Sales 209
15.1 Sequential First-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . 209
15.1.1 Two Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
15.1.2 More than Two Units . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
15.1.3 Equilibrium Bids and Prices . . . . . . . . . . . . . . 216
15.2 Sequential Second-Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . 217
15.2.1 Revenue Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
15.2.2 EquilibriumBids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
16 Nonidentical Objects 223
16.1 TheModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
16.2 Efficient Allocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.3 Substitutes and Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
16.4 Bundling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
16.5 Some Computational Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
16.6 Budget Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
17 Multiple Objects and Interdependent Values 235
17.1 One-Dimensional Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
17.1.1 An Efficient DirectMechanism . . . . . . . . . . . . 236
17.1.2 Efficiency via Open Auctions . . . . . . . . . . . . . 240
17.2 Multidimensional Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17.2.1 SingleObject . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
17.2.2 MultipleObjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
III Appendices 251
A Continuous Distributions 253
B Stochastic Orders 259
C Order Statistics 265
D Affiliated Random Variables 269
E Some Linear Algebra 273
F Games of Incomplete Information 279
G Existence of Equilibrium in First-Price Auctions 283
References 289
Index 299