Contents
Basic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII
1 Preliminaries from Probability Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Discrete Random Variables and Distributions . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Continuous Random Variables and Distributions . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Moments of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Joint Distributions and Random Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Copulas (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.6 Exercises for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Statistical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.1 Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3 Estimation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.4 Maximum Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5 Normal Variance Mixture Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6 Distribution of Index Log-Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7 Convergence of Random Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.8 Exercises for Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3 Modeling via Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1 Introduction to Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Certain Classes of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.3 Discrete Time Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4 Continuous Time Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5 Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6 L磂vy Processes (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.7 Insurance Risk Modeling (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.8 Exercises for Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
X Contents
4 Diffusion Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1 Continuous Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Examples for Continuous Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.3 Diffusion Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4 Kolmogorov Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5 Diffusions with Stationary Densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.6 Multi-Dimensional Diffusion Processes (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.7 Exercises for Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5 Martingales and Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.1 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.2 Quadratic Variation and Covariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.3 Gains from Trade as Stochastic Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.4 It坥 Integral for Wiener Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.5 Stochastic Integrals for Semimartingales (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
5.6 Exercises for Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6 The It坥 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.1 The Stochastic Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.2 Multivariate It坥 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.3 Some Applications of the It坥 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.4 Extensions of the It坥 Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.5 L磂vy抯 Theorem (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.6 A Proof of the It坥 Formula (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.7 Exercises for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.1 Solution of a Stochastic Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . 237
7.2 Linear SDE with Additive Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.3 Linear SDE with Multiplicative Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
7.4 Vector Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
7.5 Constructing Explicit Solutions of SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
7.6 Jump Diffusions (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
7.7 Existence and Uniqueness (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.8 Markovian Solutions of SDEs (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.9 Exercises for Chapter 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
8 Introduction to Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.1 Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
8.2 Options under the Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.3 The Black-Scholes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
8.4 Sensitivities for European Call Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.5 European Put Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.6 Hedge Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.7 Squared Bessel Processes (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
Contents XI
8.8 Exercises for Chapter 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
9 Various Approaches to Asset Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.1 Real World Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
9.2 Actuarial Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
9.3 Capital Asset Pricing Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
9.4 Risk Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
9.5 Girsanov Transformation and Bayes Rule (*) . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.6 Change of Numeraire (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
9.7 Feynman-Kac Formula (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
9.8 Exercises for Chapter 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10 Continuous Financial Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.1 Primary Security Accounts and Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.2 Growth Optimal Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.3 Supermartingale Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
10.4 Real World Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
10.5 GOP as Best Performing Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
10.6 Diversified Portfolios in CFMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.7 Exercises for Chapter 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
11 Portfolio Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
11.1 Locally Optimal Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
11.2 Market Portfolio and GOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.3 Expected Utility Maximization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
11.4 Pricing Nonreplicable Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.5 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
11.6 Exercises for Chapter 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
12 Modeling Stochastic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
12.1 Stochastic Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
12.2 Modified CEV Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
12.3 Local Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
12.4 Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
12.5 Exercises for Chapter 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
13 Minimal Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
13.1 Parametrization via Volatility or Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
13.2 Stylized Minimal Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
13.3 Derivatives under the MMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
13.4 MMM with Random Scaling (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
13.5 Exercises for Chapter 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
XII Contents
14 Markets with Event Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
14.1 Jump Diffusion Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
14.2 Diversified Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
14.3 Mean-Variance Portfolio Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
14.4 Real World Pricing for Two Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
14.5 Exercises for Chapter 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
15 Numerical Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
15.1 Random Number Generation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
15.2 Scenario Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
15.3 Classical Monte Carlo Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
15.4 Monte Carlo Simulation for SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
15.5 Variance Reduction of Functionals of SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
15.6 Tree Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
15.7 Finite Difference Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
15.8 Exercises for Chapter 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
16 Solutions for Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691