Lectures given at the
C.I.M.E.-E.M.S. Summer School
held in Bressanone/Brixen, Italy,
July 6--12, 2003

K. Back T.R. Bielecki C. Hipp
S. Peng(彭实戈) W. Schachermayer

ISBN 3-540-22953-1 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York

P304

Contents
Incomplete and Asymmetric Information in Asset Pricing
Theory
Kerry Back . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Filtering Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Kalman-Bucy Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Two-State Markov Chain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Incomplete Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Seminal Work. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Markov Chain Models of Production Economies . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Markov Chain Models of Pure Exchange Economies . . . . . . . . . . . 7
2.4 Heterogeneous Beliefs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Asymmetric Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1 Anticipative Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2 Rational Expectations Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Kyle Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Continuous-Time Kyle Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.5 Multiple Informed Traders in the Kyle Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Modeling and Valuation of Credit Risk
Tomasz R. Bielecki, Monique Jeanblanc, Marek Rutkowski . . . . . . . . . . . . 27
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Structural Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Basic Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Risk-Neutral Valuation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Defaultable Zero-Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Classic Structural Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Merton’s Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Black and Cox Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Stochastic Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Credit Spreads: A Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Comments on Structural Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Intensity-Based Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Hazard Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Hazard Function of a Random Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Associated Martingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Change of a Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Martingale Hazard Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Defaultable Bonds: Deterministic Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Hazard Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Hazard Process of a Random Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Valuation of Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Alternative Recovery Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Defaultable Bonds: Stochastic Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Martingale Hazard Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Martingale Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Canonical Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Kusuoka’s Counter-Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Change of a Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Statistical Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Change of a Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Preprice of a Defaultable Claim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Credit Default Swaption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A Practical Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Martingale Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Standing Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Valuation of Defaultable Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Martingale Approach under (H.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Further Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Default-Adjusted Martingale Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Hybrid Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Unified Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5 Comments on Intensity-Based Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Dependent Defaults and Credit Migrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1 Basket Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
The ith-to-Default Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Case of Two Entities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2 Conditionally Independent Defaults. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Canonical Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Independent Default Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Signed Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Valuation of FDC and LDC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
General Valuation Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Default Swap of Basket Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Copula-Based Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Direct Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Indirect Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Simplified Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.4 Jarrow and Yu Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Construction and Properties of the Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Bond Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5 Extension of the Jarrow and Yu Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Kusuoka’s Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Interpretation of Intensities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Bond Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6 Dependent Intensities of Credit Migrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Extension of Kusuoka’s Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.7 Dynamics of Dependent Credit Ratings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.8 Defaultable Term Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Standing Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Credit Migration Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Defaultable Term Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Premia for Interest Rate and Credit Event Risks . . . . . . . . . . . . . . 119
Defaultable Coupon Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Examples of Credit Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.9 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Stochastic Control with Application in Insurance
Christian Hipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1 Preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2 Introduction Into Insurance Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.1 The Lundberg Risk Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.2 Alternatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.3 Ruin Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4 Asymptotic Behavior For Ruin Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3 Possible Control Variables and Stochastic Control . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.1 Possible Control Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Investment, One Risky Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Investment, Two or More Risky Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Proportional Reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Unlimited XL Reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
XL-Reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Premium Control. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Control of New Business . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2 Stochastic Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Objective Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Infinitesimal Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
Hamilton-Jacobi-Bellman Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Verification Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Steps for Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4 Optimal Investment for Insurers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.1 HJB and its Handy Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.2 Existence of a Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.3 Exponential Claim Sizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.4 Two or More Risky Assets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Optimal Reinsurance and Optimal New Business . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.1 Optimal Proportional Reinsurance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.2 Optimal Unlimited XL Reinsurance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3 Optimal XL Reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.4 Optimal New Business . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6 Asymptotic Behavior for Value Function and Strategies . . . . . . . . . . . . 154
6.1 Optimal Investment: Exponential Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.2 Optimal Investment: Small Claims. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3 Optimal Investment: Large Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.4 Optimal Reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7 A Control Problem with Constraint: Dividends and Ruin . . . . . . . . . . . 157
7.1 A Simple Insurance Model with Dividend Payments . . . . . . . . . . . 157
7.2 Modified HJB Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3 Numerical Example and Conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.4 Earlier and Further Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Nonlinear Expectations, Nonlinear Evaluations and Risk
Measures
Shige Peng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1.1 Searching the Mechanism of Evaluations of Risky Assets . . . . . . . 165
1.2 Axiomatic Assumptions for Evaluations of Derivatives . . . . . . . . . 166
General Situations: FX
t –Consistent Nonlinear Evaluations . . . . . 166
FX
t –Consistent Nonlinear Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1.3 Organization of the Lecture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
2 Brownian Filtration Consistent Evaluations and Expectations . . . . . . 169
2.1 Main Notations and Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.2 Ft–Consistent Nonlinear Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2.3 Ft-Consistent Nonlinear Evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3 Backward Stochastic Differential Equations: g–Evaluations and
g–Expectations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.1 BSDE: Existence, Uniqueness and Basic Estimates . . . . . . . . . . . . 176
3.2 1–Dimensional BSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Comparison Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Backward Stochastic Monotone Semigroups and g–Evaluations . 186
Example: Black–Scholes Evaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

g–Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Upcrossing Inequality of Eg–Supermartingales and Optional
Sampling Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.3 A Monotonic Limit Theorem of BSDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.4 g–Martingales and (Nonlinear) g–Supermartingale
Decomposition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4 Finding the Mechanism: Is an F–Expectation a g–Expectation? . . . . . 204
4.1 Eμ-Dominated F-Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.2 Ft-Consistent Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4.3 BSDE under Ft–Consistent Nonlinear Expectations . . . . . . . . . . . 210
4.4 Decomposition Theorem for E-Supermartingales . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.5 Representation Theorem
of an F–Expectation by a g–Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.6 How to Test and Find g? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.7 A General Situation: Ft–Evaluation Representation Theorem . . . 220
5 Dynamic Risk Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6 Numerical Solution of BSDEs: Euler’s Approximation . . . . . . . . . . . . . . 222
7 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.1 Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.2 A Monotonic Limit Theorem of Itˆo’s Processes . . . . . . . . . . . . . . . . 226
7.3 Optional Stopping Theorem for Eg–Supermartingale . . . . . . . . . . . 232
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
References on BSDE and Nonlinear Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Utility Maximisation in Incomplete Markets
Walter Schachermayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
1 Problem Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
2 Models on Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
2.1 Utility Maximization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
The complete Case (Arrow) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
The Incomplete Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
3 The General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
3.1 The Reasonable Asymptotic Elasticity Condition . . . . . . . . . . . . . . 277
3.2 Existence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289