Contents
1 Introduction to Probability Theory 11
1.1 TheBinomialAssetPricingModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Finite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 LebesgueMeasure andtheLebesgue Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 General Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.1 Independenceof sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5.2 Independence of -algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3 Independence of random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.4 Correlationandindependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.5 Independence andconditionalexpectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.5.6 LawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.5.7 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2 Conditional Expectation 49
2.1 ABinomialModel forStockPriceDynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.1 Anexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.2 Definition of Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.3 FurtherdiscussionofPartialAveraging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.3.4 PropertiesofConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.5 Examples fromtheBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Arbitrage Pricing 59
3.1 BinomialPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Generalone-stepAPT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Risk-Neutral ProbabilityMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 PortfolioProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3.2 Self-financing Value of a Portfolio Process
. . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Simple European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 TheBinomialModel isComplete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 The Markov Property 67
4.1 BinomialModelPricingandHedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 ComputationalIssues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 MarkovProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.1 Differentways towrite theMarkovproperty . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Showingthata process isMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 ApplicationtoExoticOptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Stopping Times and American Options 77
5.1 AmericanPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 ValueofPortfolioHedginganAmericanOption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3 Information up to a Stopping Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Properties of American Derivative Securities 85
6.1 Theproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Proofsof theProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Compound European Derivative Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 OptimalExerciseofAmericanDerivativeSecurity. . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7 Jensen’s Inequality 91
7.1 Jensen’s Inequality for Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 OptimalExerciseof anAmericanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 StoppedMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8 RandomWalks 97
8.1 FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.2  is almost surelyfinite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.3 The moment generating function for  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.4 Expectation of  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8.5 TheStrongMarkovProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.6 GeneralFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.7 Example: PerpetualAmerican Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.8 DifferenceEquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.9 DistributionofFirstPassageTimes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.10 TheReflectionPrinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 Pricing in terms ofMarket Probabilities: The Radon-Nikodym Theorem. 111
9.1 Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 Radon-NikodymMartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.3 TheStatePriceDensityProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.4 Stochastic Volatility Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.5 Another Applicaton of the Radon-Nikodym Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10 Capital Asset Pricing 119
10.1 AnOptimizationProblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 General Random Variables 123
11.1 Law of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.2 Density of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
11.4 Two random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.5 MarginalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.6 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
11.7 ConditionalDensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.8 MultivariateNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.9 Bivariatenormal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
11.10MGF of jointly normal random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12 Semi-Continuous Models 131
12.1 Discrete-timeBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

12.2 TheStockPriceProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.3 Remainder of theMarket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.4 Risk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
12.5 Risk-NeutralPricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.6 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12.7 StalkingtheRisk-NeutralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
12.8 PricingaEuropeanCall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13 BrownianMotion 139
13.1 Symmetric RandomWalk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.2 TheLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.3 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
13.4 BrownianMotion as a Limit of RandomWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.5 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
13.6 CovarianceofBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
13.7 Finite-DimensionalDistributionsofBrownianMotion. . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.8 Filtration generated by a BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
13.9 MartingaleProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.10TheLimitof aBinomialModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.11StartingatPointsOtherThan0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.12MarkovPropertyforBrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.13Transition Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
13.14FirstPassageTime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14 The Itˆo Integral 153
14.1 BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.2 FirstVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
14.3 QuadraticVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
14.4 Quadratic Variation as Absolute Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.5 Construction of the It ˆoIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.6 It ˆointegralof an elementaryintegrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.7 Properties of the It ˆointegralof anelementary process . . . . . . . . . . . . . . . . 159
14.8 It ˆointegralof a general integrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

14.9 Properties of the (general) It ˆointegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
14.10Quadratic variation of an It ˆointegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
15 Itˆo’s Formula 167
15.1 It ˆo’s formula for oneBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
15.2 Derivation of It ˆo’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
15.3 GeometricBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
15.4 QuadraticvariationofgeometricBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.5 Volatility of Geometric Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.6 Firstderivationof theBlack-Scholes formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
15.7 Mean andvarianceof theCox-Ingersoll-Rossprocess . . . . . . . . . . . . . . . . 172
15.8 Multidimensional Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
15.9 Cross-variationsofBrownianmotions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
15.10Multi-dimensional It ˆoformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
16 Markov processes and the Kolmogorov equations 177
16.1 StochasticDifferentialEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
16.2 MarkovProperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
16.3 Transition density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
16.4 The Kolmogorov Backward Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
16.5 ConnectionbetweenstochasticcalculusandKBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
16.6 Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
16.7 Black-Scholes with price-dependent volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
17 Girsanov’s theorem and the risk-neutral measure 189
17.1 Conditional expectations under
fIP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
17.2 Risk-neutralmeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
18 Martingale Representation Theorem 197
18.1 MartingaleRepresentationTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
18.2 Ahedgingapplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
18.3 d-dimensionalGirsanovTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
18.4 d-dimensionalMartingaleRepresentationTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
18.5 Multi-dimensionalmarket model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

19 A two-dimensional market model 203
19.1 Hedging when 􀀀1 < < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
19.2 Hedging when  = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
20 Pricing Exotic Options 209
20.1 ReflectionprincipleforBrownianmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
20.2 UpandoutEuropeancall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
20.3 Apractical issue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
21 Asian Options 219
21.1 Feynman-KacTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
21.2 Constructingthehedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
21.3 Partial average payoffAsianoption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
22 Summary of Arbitrage Pricing Theory 223
22.1 Binomialmodel,HedgingPortfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
22.2 Setting up the continuousmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
22.3 Risk-neutralpricingandhedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
22.4 Implementationof risk-neutralpricingandhedging . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
23 Recognizing a BrownianMotion 233
23.1 Identifying volatility and correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
23.2 Reversingtheprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
24 An outside barrier option 239
24.1 Computingtheoptionvalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
24.2 ThePDEfor theoutsidebarrieroption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
24.3 Thehedge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
25 American Options 247
25.1 PreviewofperpetualAmerican put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
25.2 Firstpassage times forBrownianmotion: firstmethod. . . . . . . . . . . . . . . . 247
25.3 Driftadjustment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
25.4 Drift-adjustedLaplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
25.5 Firstpassage times: Secondmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

25.6 PerpetualAmericanput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
25.7 Valueof theperpetualAmerican put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
25.8 Hedgingtheput . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
25.9 PerpetualAmericancontingentclaim. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
25.10PerpetualAmericancall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
25.11Putwithexpiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
25.12Americancontingentclaimwithexpiration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
26 Options on dividend-paying stocks 263
26.1 Americanoptionwithconvexpayoff function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
26.2 Dividendpayingstock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
26.3 Hedging at time t1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
27 Bonds, forward contracts and futures 267
27.1 Forwardcontracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
27.2 Hedginga forwardcontract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
27.3 Future contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
27.4 Cashflowfroma future contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
27.5 Forward-future spread. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
27.6 Backwardationandcontango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
28 Term-structure models 275
28.1 Computing arbitrage-free bond prices: first method . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
28.2 Some interest-ratedependentassets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
28.3 Terminology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
28.4 Forwardrate agreement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
28.5 Recovering the interest r(t) fromthe forwardrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
28.6 Computing arbitrage-free bond prices: Heath-Jarrow-Morton method . . . . . . . . 279
28.7 Checkingfor absenceof arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
28.8 Implementationof theHeath-Jarrow-Mortonmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
29 Gaussian processes 285
29.1 Anexample: BrownianMotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
30 Hull and White model 293

30.1 Fiddlingwiththe formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
30.2 Dynamics of the bond price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
30.3 Calibrationof theHull&Whitemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
30.4 Option on a bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
31 Cox-Ingersoll-Ross model 303
31.1 Equilibrium distribution of r(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
31.2 Kolmogorov forward equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
31.3 Cox-Ingersoll-Ross equilibrium density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
31.4 Bondprices intheCIRmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
31.5 Option on a bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
31.6 Deterministictime changeofCIRmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
31.7 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
31.8 Tracking down '0(0) inthe time change of theCIRmodel . . . . . . . . . . . . . 316
32 A two-factor model (Duffie & Kan) 319
32.1 Non-negativity of Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
32.2 Zero-coupon bond prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
32.3 Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
33 Change of num´eraire 325
33.1 Bond price as num´eraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
33.2 Stock price as num´eraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
33.3 Mertonoptionpricingformula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
34 Brace-Gatarek-Musiela model 335
34.1 Review of HJM under risk-neutral IP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
34.2 Brace-Gatarek-Musiela model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
34.3 LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
34.4 ForwardLIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
34.5 The dynamics of L(t; ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
34.6 ImplementationofBGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
34.7 Bondprices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
34.8 Forward LIBOR under more forward measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

34.9 Pricingan interest rate caplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
34.10Pricingan interest rate cap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
34.11CalibrationofBGM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
34.12Longrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
34.13Pricinga swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346