Series: Lecture Notes in Statistics , Vol. 182
Zhu, Lixing

2005, XII, 184 p., 17 illus., Softcover

ISBN: 978-0-387-25038-0

Contents
1 Monte Carlo Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Parametric Monte Carlo Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Nonparametric Monte Carlo Tests (NMCT) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 The Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 NMCT Based on Independent Decompositions . . . . . . . . 4
1.2.3 NMCT Based on Random Weighting . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Testing for Multivariate Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Four Classes of Multivariate Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 A Test Statistic Based on Characteristic Function . . . . . . . . . . . 12
2.3 Simulations and Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Preamble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Asymptotics of Goodness-of-fit Tests for Symmetry . . . . . . . . 27
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Test Statistics and Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Testing for Elliptical Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Testing for Reflection Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 NMCT Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 NMCT for Elliptical Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 NMCT for Reflection Symmetry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.3 A Simulation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Appendix: Proofs of Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 A Test of Dimension-Reduction Type for Regressions . . . . . 45
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 The Limit Behavior of Test Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3 Monte Carlo Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Simulation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
X Contents
4.4.1 Power Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.2 Residual Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.3 A Real Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5 Checking the Adequacy of a Partially Linear Model . . . . . . . 61
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 A Test Statistic and Its Limiting Behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.1 Motivation and Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.2 Estimation of β and γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.2.3 Asymptotic Properties of the Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3 The NMCT Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.4 Simulation Study and Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.1 Simulation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4.2 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.1 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5.2 Proof for Results in Section 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.3 Proof for Results in Section 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Model Checking for Multivariate Regression Models . . . . . . . 85
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Test Statistics and their Asymptotic Behavior . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.1 A Score Type Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2.2 Asymptotics and Power Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.2.3 The Selection of W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.4 Likelihood Ratio Test for Regression Parameters . . . . . . 90
6.3 NMCT Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.1 The NMCT for TTn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.3.2 The NMCT for the Wilks Lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.4 Simulations and Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4.1 Model Checking with the Score Type Test . . . . . . . . . . . . 94
6.4.2 Diagnostics with the Wilks Lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4.3 An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Heteroscedasticity Tests for Regressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Construction and Properties of Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.1 Construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.2.2 The Limit Behavior of Tn and Wn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.3 Monte Carlo Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.4 A Simulation Study. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.5 Proofs of the theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Contents XI
7.5.1 A Set of Conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.5.2 Proofs of the Theorems in Section 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.5.3 Proofs of the Theorems in Section 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Checking the Adequacy of a Varying-Coefficients Model . . 123
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.2 Test Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.3 The Limit Behavior of Test Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.3.1 Innovation Process Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8.3.2 A Non-parametric Monte Carlo Test . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
8.4 Simulation Study and Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.4.1 Simulation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.4.2 Application to AIDS Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.5 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9 On the Mean Residual Life Regression Model . . . . . . . . . . . . . 141
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.2 Asymptotic Properties of the Test Statistic. . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.3 Monte Carlo Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.4 Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.5 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
10 Homegeneity Testing for Covariance Matrices . . . . . . . . . . . . . 155
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.2 Construction of Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.3 Monte Carlo Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3.1 Classical Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
10.3.2 NMCT Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.3.3 Permutation Test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.3.4 Simulation Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.4 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179