作者Moshe Shaked
J. George Shanthikumar
书名Stochastic Orders
出版商Springer
出版年代2007
页数481
1 Univariate Stochastic Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.A The Usual Stochastic Order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.A.1 Definition and equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.A.2 A characterization by construction on the same
probability space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.A.3 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.A.4 Further characterizations and properties . . . . . . . . . . . . . . 8
1.A.5 Some properties in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.B The Hazard Rate Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.B.1 Definition and equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.B.2 The relation between the hazard rate and the usual
stochastic orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.B.3 Closure properties and some characterizations . . . . . . . . . 18
1.B.4 Comparison of order statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.B.5 Some properties in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.B.6 The reversed hazard order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.C The Likelihood Ratio Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.C.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.C.2 The relation between the likelihood ratio and the
hazard and reversed hazard orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.C.3 Some properties and characterizations. . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.C.4 Shifted likelihood ratio orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
1.D The Convolution Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.E Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Mean Residual Life Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.A The Mean Residual Life Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.A.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.A.2 The relation between the mean residual life and some
other stochastic orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.A.3 Some closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.A.4 A property in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.B The Harmonic Mean Residual Life Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.B.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.B.2 The relation between the harmonic mean residual life
and some other stochastic orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.B.3 Some closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.B.4 Properties in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.C Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3 Univariate Variability Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.A The Convex Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.A.1 Definition and equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.A.2 Closure and other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.A.3 Conditions that lead to the convex order . . . . . . . . . . . . . 133
3.A.4 Some properties in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.A.5 The m-convex orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.B The Dispersive Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.B.1 Definition and equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.B.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.C The Excess Wealth Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.C.1 Motivation and definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.C.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.D The Peakedness Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.D.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.D.2 Some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.E Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4 Univariate Monotone Convex and Related Orders . . . . . . . . . 181
4.A The Monotone Convex and Monotone Concave Orders . . . . . . . 181
4.A.1 Definitions and equivalent conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.A.2 Closure properties and some characterizations . . . . . . . . . 185
4.A.3 Conditions that lead to the increasing convex and
increasing concave orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
4.A.4 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.A.5 Some properties in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.A.6 The starshaped order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.A.7 Some related orders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.B Transform Orders: Convex, Star, and Superadditive Orders . . . 213
4.B.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.B.2 Some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.B.3 Some related orders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.C Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5 The Laplace Transform and Related Orders . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.A The Laplace Transform Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.A.1 Definitions and equivalent conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.A.2 Closure and other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.B Orders Based on Ratios of Laplace Transforms . . . . . . . . . . . . . . 245
5.B.1 Definitions and equivalent conditions. . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.B.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
5.B.3 Relationship to other stochastic orders . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.C Some Related Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.C.1 The factorial moments order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.C.2 The moments order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.C.3 The moment generating function order . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.D Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6 Multivariate Stochastic Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.A Notations and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.B The Usual Multivariate Stochastic Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.B.1 Definition and equivalent conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.B.2 A characterization by construction on the same
probability space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.B.3 Conditions that lead to the multivariate usual
stochastic order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.B.4 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.B.5 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.B.6 A property in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.B.7 Stochastic ordering of stochastic processes . . . . . . . . . . . . 280
6.C The Cumulative Hazard Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.C.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.C.2 The relationship between the cumulative hazard order
and the usual multivariate stochastic order . . . . . . . . . . . 288
6.D Multivariate Hazard Rate Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.D.1 Definitions and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.D.2 Preservation properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.D.3 The dynamic multivariate hazard rate order . . . . . . . . . . 294
6.E The Multivariate Likelihood Ratio Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.E.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.E.2 Some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
6.E.3 A property in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
6.F The Multivariate Mean Residual Life Order . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.F.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.F.2 The relation between the multivariate mean residual
life and the dynamic multivariate hazard rate orders . . . 306
6.F.3 A property in reliability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.G Other Multivariate Stochastic Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.G.1 The orthant orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.G.2 The scaled order statistics orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.H Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7 Multivariate Variability and Related Orders . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.A The Monotone Convex and Monotone Concave Orders . . . . . . . 323
7.A.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.A.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.A.3 Further properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
7.A.4 Convex and concave ordering of stochastic processes . . . 330
7.A.5 The (m1,m2)-icx orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
7.A.6 The symmetric convex order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.A.7 The componentwise convex order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
7.A.8 The directional convex and concave orders . . . . . . . . . . . . 335
7.A.9 The orthant convex and concave orders . . . . . . . . . . . . . . 339
7.B Multivariate Dispersion Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
7.B.1 A strong multivariate dispersion order . . . . . . . . . . . . . . . 342
7.B.2 A weak multivariate dispersion order. . . . . . . . . . . . . . . . . 344
7.B.3 Dispersive orders based on constructions . . . . . . . . . . . . . 346
7.C Multivariate Transform Orders: Convex, Star, and
Superadditive Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.D The Multivariate Laplace Transform and Related Orders . . . . . 349
7.D.1 The multivariate Laplace transform order . . . . . . . . . . . . 349
7.D.2 The multivariate factorial moments order . . . . . . . . . . . . . 352
7.D.3 The multivariate moments order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.E Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
8 Stochastic Convexity and Concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.A Regular Stochastic Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.A.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
8.A.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
8.A.3 Stochastic m-convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
8.B Sample Path Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
8.B.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
8.B.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.C Convexity in the Usual Stochastic Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
8.C.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
8.C.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.D Strong Stochastic Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.D.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.D.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.E Stochastic Directional Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.E.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.E.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.F Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
9 Positive Dependence Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.A The PQD and the Supermodular Orders. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.A.1 Definition and basic properties: The bivariate case . . . . . 387
9.A.2 Closure properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
9.A.3 The multivariate case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
9.A.4 The supermodular order. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
9.B The Orthant Ratio Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.B.1 The (weak) orthant ratio orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.B.2 The strong orthant ratio orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
9.C The LTD, RTI, and PRD Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
9.D The PLRD Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
9.E Association Orders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
9.F The PDD Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
9.G Ordering Exchangeable Distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
9.H Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 | 