Contents
1 Introduction 13
1.1 Rules of logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Taxonomy of Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Bibliography for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 SetTheory 21
2.1 Set Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Algebraic properties of set operations . . . . . . . . . . 24
2.2 Cartesian Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Equivalence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Order relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Correspondences and Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4.1 Restrictions and extensions . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2 Composition of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.3 Injections and inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.4 Surjections and bijections . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Finite and InÞnite Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Algebras of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7 Bibliography for Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.8 End of Chapter Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 The Space of Real Numbers 45
3.1 The Field Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 The Order Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 The Completeness Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Open and Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Borel Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6 Bibilography for Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 End of Chapter Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 MetricSpaces 65
4.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.1 Convergence of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 Completion of ametric space. . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Connectedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Normed Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5.1 Convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5.2 A Þnite dimensional vector space: Rn . . . . . . . . . . 93
4.5.3 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.4 An inÞnite dimensional vector space: !p . . . . . . . . . 99
4.6 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6.1 Intermediate value theorem . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.6.2 Extreme value theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.6.3 Uniformcontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.7 Hemicontinuous Correspondences . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7.1 Theoremof theMaximum . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.8 Fixed Points and ContractionMappings . . . . . . . . . . . . 127
4.8.1 Fixed points of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.8.2 Contractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8.3 Fixed points of correspondences . . . . . . . . . . . . . 132
4.9 Appendix - Proofs in Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.10 Bibilography for Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.11 End of Chapter Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5 Measure Spaces 149
5.1 LebesgueMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.1.1 Outermeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.1.2 L−measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.1.3 Lebesguemeets borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.1.4 L-measurablemappings . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2 Lebesgue Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.1 Riemann integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.2.2 Lebesgue integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
CONTENTS 5
5.3 GeneralMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.1 SignedMeasures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.4 Examples UsingMeasure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.4.1 Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.4.2 L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.5 Appendix - Proofs in Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.6 Bibilography for Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6 Function Spaces 213
6.1 The set of bounded continuous functions . . . . . . . . . . . . 216
6.1.1 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.1.2 Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.1.3 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6.1.4 Separability of C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.1.5 Fixed point theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2 Classical Banach spaces: Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.2.1 Additional Topics in Lp(X) . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.2.2 Hilbert Spaces (L2(X)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.3 Linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.4 Linear Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.4.1 Dual spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.4.2 Second Dual Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.5 Separation Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.5.1 Existence of equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.6 Optimization of Nonlinear Operators . . . . . . . . . . . . . . 262
6.6.1 Variational methods on inÞnite dimensional vector spaces262
6.6.2 Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.7 Appendix - Proofs for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.8 Bibilography for Chapter 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7 Topological Spaces 299
7.1 Continuous Functions and Homeomorphisms . . . . . . . . . . 302
7.2 Separation Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.3 Convergence and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . 305