Contents
Preface xi
1 Introduction 1
1.1 Continuous Optimization: A Brief Classification . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Linear Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Quadratic Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Conic Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Optimization with Data Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Stochastic Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Robust Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Financial Mathematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Portfolio Selection and Asset Allocation . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2 Pricing and Hedging of Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.3 Risk Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.4 Asset Liability Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Linear Programming: Theory and Algorithms 13
2.1 The Linear Programming Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 The Simplex Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1 Basic Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.2 Simplex Iterations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.3 The Tableau Form of the Simplex Method . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 LP Models and Tools in Finance 29
3.1 Derivative Securities and The Fundamental Theorem of Asset Pricing . 29
3.1.1 Replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.1.2 Risk-Neutral Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Arbitrage Detection Using Linear Programming . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Risk Measures: Conditional Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Quadratic Programming: Theory and Algorithms 43
4.1 The Quadratic Programming Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Optimality Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Interior-Point Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 The Central Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Interior-Point Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.1 Path-Following Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5.2 Centered Newton directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5.3 Neighborhoods of the Central Path . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5.4 A Long-Step Path-Following Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.5 Starting from an Infeasible Point . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 QP software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 QP Models and Tools in Finance 59
5.1 Mean-Variance Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Maximizing the Sharpe Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Returns-Based Style Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.4 Recovering Risk-Neural Probabilities from Options Prices . . . . . . . . 65
5.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6 Stochastic Programming Models 71
6.1 Introduction to Stochastic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Two Stage Problems with Recourse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Multi Stage Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Stochastic Programming Models and Tools in Finance . . . . . . . . . . 76
6.4.1 Asset/Liability Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.4.2 Corporate Debt Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7 Robust Optimization Models and Tools in Finance 83
7.1 Introduction to Robust Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2 Model Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.2.1 Robust Multi-Period Portfolio Selection . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3 Solution Robustness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3.1 Robust Portfolio Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.3.2 Robust Asset Allocation: A Case Study . . . . . . . . . . . . . 90
7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8 Conic Optimization 97
8.1 Conic Optimization Models and Tools in Finance . . . . . . . . . . . . 98
8.1.1 Minimum Risk Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.1.2 Approximating Covariance Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A Convexity 101
B Cones 103
C A Probability Primer 105
D Newton’s Method 109
E Karush-Kuhn-Tucker Conditions 115