Contents

• Notation 8
• Preliminaries 12
• 1 Firm’s Value Models 14
• 1.1 The Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.1.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.1.2 Modelling Philosophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
• 1.1.3 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
• 1.1.4 State Variables and Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
• 1.1.5 The time of default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
• 1.2 Pricing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 1.2.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 1.2.2 The Firm’s Value Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
• 1.2.3 The Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
• 1.2.4 Some other securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 1.2.4.1 Coupon Payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 1.2.4.2 Convertible Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
• 1.2.4.3 Callable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 1.2.4.4 Derivatives on Defaultable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . 24
• 1.2.5 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
• 1.3 Solutions to the Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 2
• 0.0. 3
• 1.3.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 1.3.2 The 􀀀 -Forward Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
• 1.3.3 Time Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 1.3.4 The hitting probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
• 1.3.5 Putting it together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 1.3.6 The Longstaff-Schwartz Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
• 1.4 Advantages and disadvantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
• 1.5 Guide to the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
• 2 Intensity Models 35
• 2.1 Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 2.1.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 2.1.2 Intuitive construction of a Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
• 2.1.3 Properties of Poisson processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
• 2.1.4 Inhomogenous Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
• 2.1.5 Compound Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 2.1.6 Monte Carlo simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
• 2.2 Pricing with Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 2.2.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 2.2.2 Zero recovery security pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
• 2.2.3 Pricing with positive recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
• 2.2.4 Multiple defaults and fractional recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
• 2.2.5 Pricing using probability theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
• 2.2.6 Random recovery and seniority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 2.2.7 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
• 2.3 Stochastic Intensity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 2.3.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 2.3.2 Cox Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
• 2.3.3 The pricing equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
• 0. Contents 4
• 2.3.4 Defaultable bonds and yield spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
• 2.3.5 Intensity models in a Heath, Jarrow, Morton framework . . . . . . . . . . 50
• 2.3.6 Model building strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
• 2.4 Intensity Models: Guide to the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
• 3 Defaultable HJM 55
• 3.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
• 3.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
• 3.3 Setup and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
• 3.4 Pricing with Zero Recovery . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 3.4.1 Dynamics: The defaultable Forward Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
• 3.4.2 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
• 3.4.3 Absence of Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
• 3.5 Modelling the Spread between the Forward Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
• 3.5.1 Independence of Spreads and default-free Rates . . . . . . . . . . . . . . 71
• 3.5.2 Negative Forward Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
• 3.6 Positive Recovery and Restructuring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
• 3.6.1 The Model Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
• 3.6.2 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
• 3.6.3 Dynamics and Absence of Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
• 3.6.4 Seniority . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
• 3.7 Instantaneous Short Rate Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
• 3.8 Jumps in the Defaultable Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
• 3.8.1 Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
• 3.8.2 Absence of Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
• 3.9 Ratings Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
• 3.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
• 4 Pricing Credit Risk derivatives 92
• 0.0. 5
• 4.0.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
• 4.2 Structures and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 4.2.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
• 4.2.2 Asset Swap Packages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
• 4.2.3 Total Rate of Return Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
• 4.2.4 Default Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
• 4.2.5 Credit Spread Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 4.2.5.1 Credit Spread Forward and Credit Spread Swap . . . . . . . . 99
• 4.2.5.2 Credit Spread Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
• 4.2.6 Options on Defaultable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 4.2.7 Basket Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
• 4.2.8 Credit Linked Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
• 4.2.9 Applications of Credit Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 4.3 Defaultable Bond Pricing with Cox Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 4.3.1 Model Setup and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
• 4.3.2 The Time of Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
• 4.3.3 The Fractional Recovery Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
• 4.3.4 The Equivalent Recovery Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
• 4.3.5 Implied Survival Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
• 4.4 Direct Valuation of Credit Risk Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
• 4.4.1 Forms of Payment for Default Protection . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
• 4.4.2 Default Digital Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 4.4.2.1 Payoff at Maturity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 4.4.2.2 Payoff at Default . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
• 4.4.2.3 The Default Digital Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
• 4.4.3 Default Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
• 4.4.3.1 Difference to Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
• 0. Contents 6
• 4.4.3.2 Difference to default-free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
• 4.4.4 Defaultable FRNs and Default Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
• 4.4.5 Credit Spread Forwards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
• 4.4.6 Credit Spread Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
• 4.4.7 Put Options on Defaultable Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
• 4.5 Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
• 4.6 The Multifactor Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
• 4.7 Credit Derivatives in the Gaussian Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
• 4.7.1 Implied Survival Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
• 4.7.2 The Survival Contingent Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
• 4.7.3 Default Digital Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
• 4.7.4 The Credit Spread Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
• 4.7.5 The Put on a Defaultable Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
• 4.8 The Multifactor CIR Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
• 4.8.1 Bond Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
• 4.8.2 Affine Combinations of 􀀀__ Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . 131
• 4.8.3 Factor Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
• 4.9 Credit Derivatives in the CIR Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
• 4.9.1 Default Digital Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
• 4.9.2 Credit Derivatives with Option Features . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
• 4.10 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
• 4.11 Credit Derivatives Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
• 5 Rating Transitions 139
• 5.1 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
• 5.1.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
• 5.1.2 An example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
• 5.1.3 Markov chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
• 5.1.4 Deriving the Generating Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
• 0.0. 7
• 5.2 Pricing rating transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
• 5.2.1 In this section you will learn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
• 5.2.2 Pricing Zero Coupon Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
• 5.2.3 Pricing Derivatives on the Credit Rating . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
• 5.2.3.1 European-style payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
• 5.2.4 General Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
• 5.2.5 Downgrade triggers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
• 5.2.6 Hedging rating transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
• 5.2.7 Stochastic Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
• 5.3 Markov Models: Guide to the Literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
• Appendix 152
• A Calculations to the Gaussian Model 153
• A.1 Proof of Lemma 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
• A.2 Proof of Lemma 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
• A.3 Proof of Proposition 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
• A.4 Proof of Proposition 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
• A.5 Proof of Proposition 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
• B Calculations to the CIR Model 163
• B.1 Proof of Lemma 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
• B.2 Proof of Proposition 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
• B.3 Proof of Proposition 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165