Contents
1 The First Option Trade 3
2 The Black-Scholes Equation 3
2.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 A Simple Example: The Two State Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 A hedging strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.6 Geometric Brownian motion with drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6.1 Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6.2 Some uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6.3 Some more uses of Ito’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.7 The Black-Scholes Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Hedging in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 The option price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10 American early exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 The Risk Neutral World 17
4 Monte Carlo Methods 19
4.1 Monte Carlo Error Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Random Numbers and Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 The Box-Muller Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3.1 An improved Box Muller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.4 Speeding up Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Estimating the mean and variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Correlated Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.8 Integration of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.8.1 The Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.8.2 Strong and Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.9 Matlab and Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 The Binomial Model 37
5.1 A No-arbitrage Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 More on Ito’s Lemma 41
7 Derivative Contracts on non-traded Assets and Real Options 44
7.1 Derivative Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 A Forward Contract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2.1 Convenience Yield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.2.2 Volatility of Foward Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Discrete Hedging 49
8.1 Delta Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.2 Gamma Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Vega Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9 Jump Diffusion 54
9.1 The Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 The Jump Diffusion Pricing Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.3 An Alternate Derivation of the Pricing Equation for Jump Diffusion . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Regime Switching 62
11 Mean Variance Portfolio Optimization 64
11.1 Special Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
11.2 The Portfolio Allocation Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
11.3 Adding a Risk-free asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11.4 Criticism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11.5 Individual Securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12 Stocks for the Long Run? 74
13 Further Reading 75
13.1 General Interest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
13.2 More Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
13.3 More Technical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77