Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1 Definition of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Simple Properties of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Wiener Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Conditional Expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Series Expansion of Wiener Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Constructions of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1 Wiener Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Borel朇antelli Lemma and Chebyshev Inequality . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Kolmogorov抯 Extension and Continuity Theorems . . . . . . . . . . . 27
3.4 L磂vy抯 Interpolation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.1 Background and Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Filtrations for a Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.4 Simple Examples of Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Doob Submartingale Inequality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Stochastic Processes Defined by It坥 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Riemann Sums and Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 An Extension of Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1 A Larger Class of Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 A Key Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 General Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.4 Stopping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.5 Associated Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6 Stochastic Integrals for Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.2 Poisson Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.3 Predictable Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Doob–Meyer Decomposition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5 Martingales as Integrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.6 Extension for Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 The Itˆo Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1 Itˆo’s Formula in the Simplest Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Proof of Itˆo’s Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.3 Itˆo’s Formula Slightly Generalized . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Itˆo’s Formula in the General Form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.5 Multidimensional Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.6 Itˆo’s Formula for Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8 Applications of the Itˆo Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.1 Evaluation of Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.2 Decomposition and Compensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.3 Stratonovich Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4 L´evy’s Characterization Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.5 Multidimensional Brownian Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.6 Tanaka’s Formula and Local Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.7 Exponential Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.8 Transformation of Probability Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.9 Girsanov Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9 Multiple Wiener–Itˆo Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.1 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.2 Double Wiener–Itˆo Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.3 Hermite Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
9.4 Homogeneous Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.5 Orthonormal Basis for Homogeneous Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9.6 Multiple Wiener–Itˆo Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

9.7 Wiener–Itˆo Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.8 Representation of Brownian Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.1 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10.2 Bellman–Gronwall Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.3 Existence and Uniqueness Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.4 Systems of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.5 Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.6 Solutions of Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.7 Some Estimates for the Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.8 Diffusion Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.9 Semigroups and the Kolmogorov Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11 Some Applications and Additional Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.1 Linear Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
11.2 Application to Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
11.3 Application to Filtering Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.4 Feynman–Kac Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.5 Approximation of Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.6 White Noise and Electric Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Glossary of Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273