Contents
1 The Set of Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Sets and Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The Set R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 The Subset N and the Principle of Induction . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 The Completeness Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Sequences and Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Nonnegative Series and Decimal Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.7 Signed Series and Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Compactness. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Continuous Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.1 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2 Mapping Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3 Graphing Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5 Trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1 The Cantor Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.3 The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4 The Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5 The Method of Exhaustion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1 Euler’s Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2 The Number π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.3 Gauss’ Arithmetic-Geometric Mean (AGM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.4 The Gaussian Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5.5 Stirling’s Approximation of n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.6 Infinite Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.7 Jacobi’s Theta Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
5.8 Riemann’s Zeta Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
5.9 The Euler–Maclaurin Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
A Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.1 Solutions to Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.2 Solutions to Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
A.3 Solutions to Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
A.4 Solutions to Chapter 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
A.5 Solutions to Chapter 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333