1 Foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Principles of Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 First Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Efficiency of Simulation Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Principles of Derivatives Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.1 Pricing and Replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Arbitrage and Risk-Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.3 Change of Numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.4 The Market Price of Risk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Generating Random Numbers and Random Variables . . . . . 39
2.1 Random Number Generation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 General Considerations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Linear Congruential Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.3 Implementation of Linear Congruential Generators . . . . 44
2.1.4 Lattice Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.5 Combined Generators and Other Methods . . . . . . . . . . . . 49
2.2 General Sampling Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2.1 Inverse Transform Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2.2 Acceptance-Rejection Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Normal Random Variables and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.2 Generating Univariate Normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3.3 Generating Multivariate Normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3 Generating Sample Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.1 One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.2 Multiple Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2 Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2.2 Path-Dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.3 Multiple Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 Gaussian Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.1 Basic Models and Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3.2 Bond Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.3 Multifactor Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4 Square-Root Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4.1 Transition Density. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.2 Sampling Gamma and Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.4.3 Bond Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4.4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.5 Processes with Jumps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.5.1 A Jump-Diffusion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.5.2 Pure-Jump Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.6 Forward Rate Models: Continuous Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.6.1 The HJM Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.6.2 The Discrete Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.6.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.7 Forward Rate Models: Simple Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.7.1 LIBOR Market Model Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.7.2 Pricing Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.7.3 Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.7.4 Volatility Structure and Calibration . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4 Variance Reduction Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1 Control Variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1.1 Method and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.1.2 Multiple Controls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.1.3 Small-Sample Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
4.1.4 Nonlinear Controls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2 Antithetic Variates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4.3 Stratified Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.3.1 Method and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.3.3 Poststratification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.4 Latin Hypercube Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.5 Matching Underlying Assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.5.1 Moment Matching Through Path Adjustments . . . . . . . . 244
4.5.2 Weighted Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.6 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.6.1 Principles and First Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.6.2 Path-Dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.7 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5 Quasi-MonteCarlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.1 General Principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.1.1 Discrepancy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.1.2 Van der Corput Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.1.3 The Koksma-Hlawka Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.1.4 Nets and Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.2 Low-Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.2.1 Halton and Hammersley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.2.2 Faure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.2.3 Sobol’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.2.4 Further Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
5.3 Lattice Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
5.4 Randomized QMC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
5.5 The Finance Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.5.1 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.5.2 Strategic Implementation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.6 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6 Discretization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.1.1 The Euler Scheme and a First Refinement . . . . . . . . . . . . 339
6.1.2 Convergence Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
6.2 Second-Order Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.2.1 The Scalar Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.2.2 The Vector Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.2.3 Incorporating Path-Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.2.4 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
6.3 Extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.3.1 General Expansions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
6.3.2 Jump-Diffusion Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.3.3 Convergence of Mean Square Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6.4 Extremes and Barrier Crossings: Brownian Interpolation . . . . . 366
6.5 Changing Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
6.6 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7 Estimating Sensitivities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.1 Finite-Difference Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
7.1.1 Bias and Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
7.1.2 Optimal Mean Square Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.2 Pathwise Derivative Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.2.1 Method and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.2.2 Conditions for Unbiasedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
7.2.3 Approximations and Related Methods . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.3 The Likelihood Ratio Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.3.1 Method and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.3.2 Bias and Variance Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
7.3.3 Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.3.4 Approximations and Related Methods . . . . . . . . . . . . . . . 413
7.4 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
8 PricingAmericanOptions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
8.1 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
8.2 Parametric Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
8.3 Random Tree Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.3.1 High Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
8.3.2 Low Estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
8.3.3 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
8.4 State-Space Partitioning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
8.5 Stochastic Mesh Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
8.5.1 General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
8.5.2 Likelihood Ratio Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
8.6 Regression-Based Methods and Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
8.6.1 Approximate Continuation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
8.6.2 Regression and Mesh Weights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.7 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
8.8 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
9 Applications in Risk Management . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
9.1 Loss Probabilities and Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
9.1.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
9.1.2 Calculating VAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
9.2 Variance Reduction Using the Delta-Gamma Approximation . . 492
9.2.1 Control Variate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
9.2.2 Importance Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
9.2.3 Stratified Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
9.3 A Heavy-Tailed Setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
9.3.1 Modeling Heavy Tails . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
9.3.2 Delta-Gamma Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
9.3.3 Variance Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
9.4 Credit Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
9.4.1 Default Times and Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
9.4.2 Dependent Defaults. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
9.4.3 Portfolio Credit Risk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
9.5 Concluding Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
A Appendix: Convergence and Confidence Intervals . . . . . . . . . . 539
A.1 Convergence Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
A.2 Central Limit Theorem and Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . 541
B Appendix: Results from Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . 545
B.1 Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
B.2 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
B.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
B.4 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
C Appendix: The Term Structure of Interest Rates . . . . . . . . . . 559
C.1 Term Structure Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
C.2 Interest Rate Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587 | 