Table of Contents
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XIII
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Bayesian Statistics and MCMC Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Bayesian inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 MCMC methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 The Gibbs sampler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 The Metropolis-Hastings algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.3 Dealing with the MCMC output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Bayesian Estimation of the GARCH(1; 1) Model with
Normal Innovations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 The model and the priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Simulating the joint posterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2.1 Generating vector α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.2 Generating parameter β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Empirical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.1 Model estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3.2 Sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.3 Model diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Illustrative applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.1 Persistence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.2 Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Bayesian Estimation of the Linear Regression Model with
Normal-GJR(1; 1) Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1 The model and the priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Simulating the joint posterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Generating vector γ
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.2 Generating the GJR parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Generating vector α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Generating parameter β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
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4.3 Empirical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Model estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.2 Sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3.3 Model diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Illustrative applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Bayesian Estimation of the Linear Regression Model with
Student-t-GJR(1; 1) Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.1 The model and the priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Simulating the joint posterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.1 Generating vector γ
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2.2 Generating the GJR parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Generating vector α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Generating parameterβ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.3 Generating vector ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.4 Generating parameter υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 Empirical analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.1 Model estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3.2 Sensitivity analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.3 Model diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4 Illustrative applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6 Value at Risk and Decision Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 The concept of Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.2.1 The one-day ahead VaR under the GARCH(1; 1) dynamics 77
6.2.2 The s-day ahead VaR under the GARCH(1; 1) dynamics . 77
6.3 Decision theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.1 Bayes point estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.3.2 The Linex loss function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.3 The Monomial loss function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Empirical application: the VaR term structure . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.4.1 Data set and estimation design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.4.2 Bayesian estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4.3 The term structure of the VaR density . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.4.4 VaR point estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4.5 Regulatory capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.6 Forecasting performance analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.5 The Expected Shortfall risk measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7 Bayesian Estimation of the Markov-Switching GJR(1; 1)
Model with Student-t Innovations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.1 The model and the priors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7.2 Simulating the joint posterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.1 Generating vector s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.2.2 Generating matrix P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.2.3 Generating the GJR parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Table of Contents XI
Generating vector α. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Generating vector β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2.4 Generating vector ξ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.5 Generating parameter υ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3 An application to the Swiss Market Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 In-sample performance analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.1 Model diagnostics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.4.2 Deviance information criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.4.3 Model likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Forecasting performance analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.6 One-day ahead VaR density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.7 Maximum Likelihood estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A Recursive Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
A.1 The GARCH(1; 1) model with Normal innovations . . . . . . . . . . . . . 161
A.2 The GJR(1; 1) model with Normal innovations . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A.3 The GJR(1; 1) model with Student-t innovations . . . . . . . . . . . . . . 163
B Equivalent Specication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C Conditional Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Computational Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Abbreviations and Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
List of Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
List of Figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201