Preface ii
1 Notation and conventions 1
2 Dyadic intervals 3
2.1 The unit interval and dyadic subintervals . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Functions on the unit interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Haar functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Binary sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Convexity and some basic inequalities 9
3.1 Convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Jensen’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 H¨older’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4 Minkowski’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 p < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Normed vector spaces 18
4.1 Definitions and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Dual spaces and norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 Second duals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Linear transformations and norms . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Linear transformations and duals . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6 Inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Inner product spaces, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.8 Separation of convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.9 Some variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
iii
iv CONTENTS
5 Strict convexity 37
5.1 Functions of one real variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 The unit ball in a normed vector space . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Linear functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.4 Uniqueness of points of minimal distance . . . . . . . . . . . . 42
5.5 Clarkson’s inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6 Spectral theory 44
6.1 The spectrum and spectral radius . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Spectral radius and norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 Spectral radius and norms, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.4 Inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.5 The C∗-identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.6 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.7 Remarks about diagonalizable operators . . . . . . . . . . . . 58
6.8 Commuting families of operators . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 Linear operators between inner product spaces 61
7.1 Preliminary remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Schmidt decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3 The Hilbert-Schmidt norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4 A numerical feature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.5 Numerical range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8 Subspaces and quotient spaces 67
8.1 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2 Quotient spaces and norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.3 Mappings between vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9 Variation seminorms 73
9.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.2 The p = 2 and n = 1, p = 1 cases . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.3 Minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.4 Truncations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
10 Groups 81
10.1 General notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.2 Some operators on F(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
CONTENTS v
10.3 Commutative groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.4 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.5 Groups of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
11 Some special families of functions 89
11.1 Rademacher functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
11.2 Linear functions on spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.3 Linear functions, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.4 Lacunary sums, p = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
12 Maximal functions 97
12.1 Definitions and basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.2 The size of the maximal function . . . . . . . . . . . . . . . . 99
12.3 Some variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.4 More on the size of the maximal function . . . . . . . . . . . . 102
13 Square functions 106
13.1 S-functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
13.2 Estimates, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
13.3 Estimates, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
13.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
13.5 Duality, continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
13.6 Some inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
13.7 Another inequality for p = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.8 Variants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
13.9 Some remarks concerning p = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
14 Interpolation of operators 130
14.1 The basic result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
14.2 A digression about convex functions . . . . . . . . . . . . . . . 133
14.3 A place where the maximum is attained . . . . . . . . . . . . 135
14.4 The rest of the argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
14.5 A reformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
14.6 A generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
15 Quasisymmetric mappings 141
15.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
vi CONTENTS
15.3 Cantor sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
15.4 Bounds in terms of C ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Bibliography 150