Contents
1.1 Examples of Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Review of basic facts in measure theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Measurable Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Intermezzo: Special sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Operations with fields and ¾¡fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.5 Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.6 Measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.7 Limit theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Random Elements, Stochastic Processes, Brownian Motion 21
2.1 Random Elements and Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Distributional properties of the standard Brownian Motion . . . . . . . 27
2.2.2 Brownian Motion as infinite sum of random variables . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Intermezzo: Box- M¨uller simulation approach . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.4 Brownian Bridge and Brownian Motion in higher dimensions . . . . . . 39
2.2.5 Sample path properties of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.6 Distribution of supremum of standard Brownian Motion . . . . . . . . 47
2.2.7 Hitting times and zeros of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Integration with respect to Brownian Motion 61
3.1 Ito’ stochastic integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Functions of Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Advanced treatment of stochastic processes 71
4.1 Review of some crucial points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Remarks on (IRT ; BT ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Sample path continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Random Processes and Filtrations 83
5.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.1 Conditioning on ¾¡fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4 Gambling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5 Stoping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.6 Doob’s Martingale Inequalities
and Convergence Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7 Beyond the discrete setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100