1 Introduction to Derivative Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Financial Options and Their Trading Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Trading Strategies Involving Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Rational Boundaries for Option Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Effects of Dividend Payments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Put-Call Parity Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.3 Foreign Currency Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Forward and Futures Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 Values and Prices of Forward Contracts. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Relation between Forward and Futures Prices . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Swap Contracts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Interest Rate Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 Currency Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Financial Economics and Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Single Period Securities Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.1.1 Dominant Trading Strategies and Linear Pricing Measures . . 37
2.1.2 Arbitrage Opportunities and Risk Neutral Probability
Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.3 Valuation of Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.4 Principles of Binomial Option Pricing Model . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Filtrations, Martingales and Multiperiod Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1 Information Structures and Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.2 Conditional Expectations and Martingales . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.3 Stopping Times and Stopped Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.4 Multiperiod Securities Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.5 Multiperiod Binomial Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.3 Asset Price Dynamics and Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.1 Random Walk Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.2 Brownian Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4 Stochastic Calculus: Ito’s Lemma and Girsanov’s Theorem . . . . . . . . 79
2.4.1 Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.4.2 Ito’s Lemma and Stochastic Differentials . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.3 Ito’s Processes and Feynman–Kac Representation
Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4.4 Change of Measure: Radon–Nikodym Derivative and
Girsanov’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3 Option Pricing Models: Black–Scholes–Merton Formulation . . . . . . . . 99
3.1 Black–Scholes–Merton Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.1 Riskless Hedging Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.2 Dynamic Replication Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1.3 Risk Neutrality Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2 Martingale Pricing Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.1 Equivalent Martingale Measure and Risk Neutral
Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2.2 Black–Scholes Model Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3 Black–Scholes Pricing Formulas and Their Properties . . . . . . . . . . . . 114
3.3.1 Pricing Formulas for European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.2 Comparative Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4 Extended Option Pricing Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4.1 Options on a Dividend-Paying Asset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4.2 Futures Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.4.3 Chooser Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.4 Compound Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4.5 Merton’s Model of Risky Debts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4.6 Exchange Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.4.7 Equity Options with Exchange Rate Risk Exposure . . . . . . . . 144
3.5 Beyond the Black–Scholes Pricing Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.1 Transaction Costs Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.5.2 Jump-Diffusion Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.5.3 Implied and Local Volatilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.5.4 Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4 Path Dependent Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.1 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.1.1 European Down-and-Out Call Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.1.2 Transition Density Function and First Passage Time
Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.1.3 Options with Double Barriers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.1.4 Discretely Monitored Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.2 Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.2.1 European Fixed Strike Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.2.2 European Floating Strike Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . 205
4.2.3 More Exotic Forms of European Lookback Options . . . . . . . 207
4.2.4 Differential Equation Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.2.5 Discretely Monitored Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.3 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.3.1 Partial Differential Equation Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.3.2 Continuously Monitored Geometric Averaging Options . . . . 214
4.3.3 Continuously Monitored Arithmetic Averaging Options . . . . 217
4.3.4 Put-Call Parity and Fixed-Floating Symmetry Relations . . . . 219
4.3.5 Fixed Strike Options with Discrete Geometric Averaging . . . 222
4.3.6 Fixed Strike Options with Discrete Arithmetic Averaging . . . 225
4.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.1 Characterization of the Optimal Exercise Boundaries . . . . . . . . . . . . . 253
5.1.1 American Options on an Asset Paying Dividend Yield . . . . . 253
5.1.2 Smooth Pasting Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.1.3 Optimal Exercise Boundary for an American Call . . . . . . . . . 256
5.1.4 Put-Call Symmetry Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.1.5 American Call Options on an Asset Paying Single
Dividend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
5.1.6 One-Dividend and Multidividend American Put Options . . . 267
5.2 Pricing Formulations of American Option Pricing Models . . . . . . . . 270
5.2.1 Linear Complementarity Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
5.2.2 Optimal Stopping Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.2.3 Integral Representation of the Early Exercise Premium . . . . . 274
5.2.4 American Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.2.5 American Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.3 Analytic Approximation Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.3.1 Compound Option Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . 283
5.3.2 Numerical Solution of the Integral Equation . . . . . . . . . . . . . . 284
5.3.3 Quadratic Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
5.4 Options with Voluntary Reset Rights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.4.1 Valuation of the Shout Floor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
5.4.2 Reset-Strike Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
6 Numerical Schemes for Pricing Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.1 Lattice Tree Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.1.1 Binomial Model Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.1.2 Continuous Limits of the Binomial Model . . . . . . . . . . . . . . . 316
6.1.3 Discrete Dividend Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.1.4 Early Exercise Feature and Callable Feature . . . . . . . . . . . . . . 322

6.1.5 Trinomial Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.1.6 Forward Shooting Grid Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.2 Finite Difference Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.2.1 Construction of Explicit Schemes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2.2 Implicit Schemes and Their Implementation Issues . . . . . . . . 337
6.2.3 Front Fixing Method and Point Relaxation Technique . . . . . . 340
6.2.4 Truncation Errors and Order of Convergence . . . . . . . . . . . . . 344
6.2.5 Numerical Stability and Oscillation Phenomena . . . . . . . . . . . 346
6.2.6 Numerical Approximation of Auxiliary Conditions . . . . . . . . 349
6.3 Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.3.1 Variance Reduction Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
6.3.2 Low Discrepancy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
6.3.3 Valuation of American Options. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7 Interest Rate Models and Bond Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
7.1 Bond Prices and Interest Rates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
7.1.1 Bond Prices and Yield Curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
7.1.2 Forward Rate Agreement, Bond Forward and Vanilla
Swap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
7.1.3 Forward Rates and Short Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
7.1.4 Bond Prices under Deterministic Interest Rates . . . . . . . . . . . 389
7.2 One-Factor Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
7.2.1 Short Rate Models and Bond Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
7.2.2 Vasicek Mean Reversion Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
7.2.3 Cox–Ingersoll–Ross Square Root Diffusion Model . . . . . . . . 397
7.2.4 Generalized One-Factor Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . 399
7.2.5 Calibration to Current Term Structures of Bond Prices . . . . . 400
7.3 Multifactor Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
7.3.1 Short Rate/Long Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.3.2 Stochastic Volatility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
7.3.3 Affine Term Structure Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.4 Heath–Jarrow–Morton Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7.4.1 Forward Rate Drift Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
7.4.2 Short Rate Processes and Their Markovian
Characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
7.4.3 Forward LIBOR Processes under Gaussian HJM
Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
7.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
8 Interest Rate Derivatives: Bond Options, LIBOR and Swap Products 441
8.1 Forward Measure and Dynamics of Forward Prices . . . . . . . . . . . . . . 443
8.1.1 ForwardMeasure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
8.1.2 Pricing of Equity Options under Stochastic Interest Rates . . . 446
8.1.3 Futures Process and Futures-Forward Price Spread . . . . . . . . 448

8.2 Bond Options and Range Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
8.2.1 Options on Discount Bonds and Coupon-Bearing Bonds . . . 450
8.2.2 Range Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
8.3 Caps and LIBOR Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
8.3.1 Pricing of Caps under Gaussian HJM Framework . . . . . . . . . 461
8.3.2 Black Formulas and LIBOR Market Models . . . . . . . . . . . . . . 462
8.4 Swap Products and Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
8.4.1 Forward Swap Rates and Swap Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
8.4.2 Approximate Pricing of Swaption under Lognormal
LIBOR Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
8.4.3 Cross-Currency Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
8.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
Author Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
Subject Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521