Contents
1 Arbitrage Theory 5
1.1 Derivative Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Derivative Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Underlying securities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3 Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4 Types of Traders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.5 Modelling Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Arbitrage Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Fundamental Determinants of Option Values . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Arbitrage bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Single-Period Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 A fundamental example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.2 A single-period model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3 A few ¯nancial-economic considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Financial Market Theory 24
2.1 Choice under Uncertainty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.1 Preferences and the Expected Utility Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.2 Risk Aversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3 Further measures of risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Optimal Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 The mean-variance approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Capital asset pricing model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Portfolio optimisation and the absence of arbitrage . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Discrete-time models 39
3.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Existence of Equivalent Martingale Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 The No-Arbitrage Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.2 Risk-Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Complete Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 The Cox-Ross-Rubinstein Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.1 Model Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2 Risk-Neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.3 Hedging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Binomial Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 Model Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.2 The Black-Scholes Option Pricing Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 American Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.1 Stopping Times, Optional Stopping and Snell Envelopes . . . . . . . . . . . 60
3.6.2 The Financial Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.6.3 American Options in the Cox-Ross-Rubinstein model . . . . . . . . . . . . . 68
3.6.4 A Three-period Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Continuous-time Financial Market Models 72
4.1 The Stock Price Process and its Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.1 Continuous-time Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.2 Stochastic Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3 It^o's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.4 Girsanov's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Financial Market Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.1 The Financial Market Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.2 Equivalent Martingale Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.2.3 Risk-neutral Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2.4 The Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.5 The Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.6 Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Interest Rate Theory 91
5.1 The Bond Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1 The Term Structure of Interest Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2 Mathematical Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.3 Bond Pricing, .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2 Short-rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.1 The Term-structure Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.2 Martingale Modelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.3 Heath-Jarrow-Morton Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.1 The Heath-Jarrow-Morton Model Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.2 Forward Risk-neutral Martingale Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Pricing and Hedging Contingent Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.1 Gaussian HJM Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.2 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4.3 Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A Basic Probability Background 106
A.1 Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.2 Convolution and Characteristic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.3 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B Facts form Probability and Measure Theory 115
B.1 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.2 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B.3 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.4 Equivalent Measures and Radon-Nikod秠m Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B.5 Conditional expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B.6 Modes of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C Stochastic Processes in Discrete Time 133
C.1 Information and Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.2 Discrete-Parameter Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.3 De痭ition and basic properties of martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C.4 Martingale Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136