Contents
There are 1011 stars in the galaxy. That used to be a huge
number. But it’s only a hundred billion. It’s less than the
national deficit! We used to call them astronomical numbers.
Now we should call them economical numbers —
Richard Feynman (1918–1988)
1 Utility theory and insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The expected utility model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Classes of utility functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Stop-loss reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 The individual risk model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Mixed distributions and risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Normal approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Translated gamma approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.3 NP approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Application: optimal reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Collective risk models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Compound distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Convolution formula for a compound cdf . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Distributions for the number of claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Properties of compound Poisson distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Panjer’s recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6 Compound distributions and the Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . 54
3.7 Approximations for compound distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8 Individual and collective risk model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.9 Loss distributions: properties, estimation, sampling . . . . . . . . . . . . . . 61
3.9.1 Techniques to generate pseudo-random samples . . . . . . . . . . 62
3.9.2 Techniques to compute ML-estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
xv
xvi Contents
3.9.3 Poisson claim number distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.9.4 Negative binomial claim number distribution . . . . . . . . . . . . . 64
3.9.5 Gamma claim severity distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9.6 Inverse Gaussian claim severity distributions . . . . . . . . . . . . . 67
3.9.7 Mixtures/combinations of exponential distributions . . . . . . . . 69
3.9.8 Lognormal claim severities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.9.9 Pareto claim severities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.10 Stop-loss insurance and approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.10.1 Comparing stop-loss premiums in case of unequal variances 76
3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4 Ruin theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2 The classical ruin process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Some simple results on ruin probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Ruin probability and capital at ruin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5 Discrete time model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6 Reinsurance and ruin probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Beekman’s convolution formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.8 Explicit expressions for ruin probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.9 Approximation of ruin probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5 Premium principles and Risk measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2 Premium calculation from top-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 Various premium principles and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.1 Properties of premium principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Characterizations of premium principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.5 Premium reduction by coinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.6 Value-at-Risk and related risk measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6 Bonus-malus systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2 A generic bonus-malus system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.3 Markov analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.1 Loimaranta efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.4 Finding steady state premiums and Loimaranta efficiency . . . . . . . . . 142
6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7 Ordering of risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2 Larger risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3 More dangerous risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3.1 Thicker-tailed risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Contents xvii
7.3.2 Stop-loss order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.3 Exponential order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.3.4 Properties of stop-loss order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4.1 Individual versus collective model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.4.2 Ruin probabilities and adjustment coefficients . . . . . . . . . . . . 164
7.4.3 Order in two-parameter families of distributions . . . . . . . . . . 166
7.4.4 Optimal reinsurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4.5 Premiums principles respecting order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.6 Mixtures of Poisson distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.7 Spreading of risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.4.8 Transforming several identical risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.5 Incomplete information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.6 Comonotonic random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.7 Stochastic bounds on sums of dependent risks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.7.1 Sharper upper and lower bounds derived from a surrogate . . 183
7.7.2 Simulating stochastic bounds for sums of lognormal risks . . 186
7.8 More related joint distributions; copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.8.1 More related distributions; association measures . . . . . . . . . . 190
7.8.2 Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8 Credibility theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.2 The balanced B¨uhlmann model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3 More general credibility models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
8.4 The B¨uhlmann-Straub model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.4.1 Parameter estimation in the B¨uhlmann-Straub model . . . . . . 217
8.5 Negative binomial model for the number of car insurance claims . . . 222
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9 Generalized linear models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2 Generalized Linear Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.3
9.4 Deviance and scaled deviance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.5 Case study I: Analyzing a simple automobile portfolio . . . . . . . . . . . 248
9.6 Case study II: Analyzing a bonus-malus system using GLM . . . . . . . 252
9.6.1 GLM analysis for the total claims per policy . . . . . . . . . . . . . 257
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10 IBNR techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
10.2 Two time-honored IBNR methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
10.2.1 Chain ladder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Some traditional estimation procedures and GLMs . . . . . . . . . . . . . . 237
xviii Contents
10.2.2 Bornhuetter-Ferguson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
10.3 A GLM that encompasses various IBNR methods . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.3.1 Chain ladder method as a GLM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
10.3.2 Arithmetic and geometric separation methods . . . . . . . . . . . . 273
10.3.3 De Vijlder’s least squares method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
10.4 Illustration of some IBNR methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10.4.1 Modeling the claim numbers in Table 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.4.2 Modeling claim sizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.5 Solving IBNR problems by R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.6 Variability of the IBNR estimate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.6.1 Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
10.6.2 Analytical estimate of the prediction error . . . . . . . . . . . . . . . 288
10.7 An IBNR-problem with known exposures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
11
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11.2 Linear Models and Generalized Linear Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11.3 The Exponential Dispersion Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
11.4 Fitting criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.4.1 Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.4.2 Quasi-likelihood and quasi-deviance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
11.4.3 Extended quasi-likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.5 The canonical link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.6 The IRLS algorithm of Nelder and Wedderburn . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
11.6.1 Theoretical description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
11.6.2 Step-by-step implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
11.7 Tweedie’s Compound Poisson–gamma distributions . . . . . . . . . . . . . . 317
11.7.1 Application to an IBNR problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
11.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
The ‘R’ in Modern ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.1 A short introduction to R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
A.2 Analyzing a stock portfolio using R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
A.3 Generating a pseudo-random insurance portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Hints for the exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Tables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
More on GLMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297